PLANO TANGENTE Y VECTOR NORMAL

DEFINICIÓN PLANO TANGENTE:

Se llama plano tangente a una superficie en un punto P de la misma, al plano que contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por el punto P.

DEFINICIÓN VECTOR NORMAL:

Se llama recta normal a una superficie a la recta que pasa por un punto P y es perpendicular al plano tangente.

en la siguiente imagen se explica a detalle  las formulas para el plano tangente y el vector normal

EJERCICIOS RESUELTOS

Ejemplo 1

Hallar la ecuación del plano tangente al hiperboloide z² – 2x² – 2y² = 12 en el punto (1,-1,4).

Solución

z² – 2x² – 2y² = 12   z² – 2x² – 2y² – 12 = 0

Definiendo: F(x,y,z) = z² – 2x² – 2y² – 12 = 0

•  F_x(x,y,z) = - 4x

   F_x(1,-1,4) = - 4(1) = - 4

•  F_y(x,y,z) = - 4y

   F_y(1,-1,4) = - 4(-1) = 4

•  F_z(x,y,z) = 2z

   F_z(1,-1,4) = 2(4) = 8

F_x(x_o,y_o,z_o)(x-x_o) + F_y(x_o,y_o,z_o)(y-y_o) + F_z(x_o,y_o,z_o) = 0

F_x(1,-1,4)(x - 1) + F_y(1,-1,4)(y + 1) + F_z(1,-1,4)(z - 4) = 0

- 4(x – 1) + 4(y + 1) + 8(z – 4) = 0

- 4x + 4 + 4y + 4 + 8z – 32 = 0

- 4x + 4y + 8z – 24 = 0     x – y – 2z + 6 = 0

Ejemplo 2

Hallar un conjunto de ecuaciones simétricas para la recta normal a la superficie dada por xyz = 12 en el punto (2,-2,-3).

Solución

•  Haciendo:   F(x,y,z) = xyz-12

•  Gradiente 

•  =(-2)(-3)i + (2)(-3)j + (2)(-2)k = 6i – 6j – 4k

•  La recta normal en el punto (x_o,y_o,z_o) = (2,-2,-3) tiene números de dirección o directores 6, - 6  y  - 4 y el conjunto de ecuaciones simétricas está dada por:

Es importante saber que el gradiente  es normal a la superficie F(x,y,z) = 0 permite resolver diversos problemas relacionados con superficies y curvas en el espacio.

PARA UN MEJOR ENTENDIMIENTO DE LA SOLUCIÓN DE PLANO TANGENTE VER EL SIGUIENTE VÍDEO:

https://www.youtube.com/watch?v=b5RPjR56_w0

APLICACIONES y APORTES A NUESTRA CARRERA:

En la carrera de mecatrónica se puede se puede usar el Plano tangente y vector normal para poder hallar el espacio de trabajo de un brazo robótico tomando el plano tangente como un muro y el vector como la coordenada del punto máximo del brazo   , gracias a esto se podrían ahorrar tiempo en la creación de simulaciones en 3D para realizar un cálculo de espacio de trabajo lo más preciso posible.

REFERENCIAS:

•  A. Herrera,VECTOR NORMAL Y PLANO TANGENTE (2014) https://www.uv.mx/personal/aherrera/files/2014/05/11-Vector-Normal-y-Plano-Tangente.pdf.
•  PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA SUPERFICIE (2013) http://files.iutpccohortejun2013bt.webnode.es/200000012-a9248aa1ea/MATEMATICA%20PARA%20INGENIERIA%20TRAMO%20I%20(PARTE%20H).doc.
• Luis   Medina PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL  (2015)  http://www.academia.edu/11468228/6_6_PLANO_TANGENTE_Y_RECTA_NORMAL

DANIELGALLEGO, CAMILO GIL, JHONATAN LLANTEN